Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 + 0 & 0 + 0 & 13 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ & - 12 + 0 & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 + 0 & 13 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ & - 12 + 0 & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ & - 12 + 0 & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $13$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 + 0 & 0 - λ & - 12 + 0 & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & 0 - λ & - 12 + 0 & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 + 0 & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $- 12$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.7

Somma $- 8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 \\ 0 + 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 + 0 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.9

Somma $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & 0 - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.10

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & - λ & - 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.11

Somma $- 8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & - λ & - 8 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.12

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 0 + 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.13

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 0 & 8 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.14

Somma $8$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 0 & 13 \\ 2 & - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 0 & 8 & 8 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - λ & - 12 & - 8 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} - λ & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ - λ & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ - λ & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ | \begin{array}{c} - λ & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ - λ & - 8 \end{array} |) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ - λ & - 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ | \begin{array}{c} - λ & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3

Calcola $| \begin{array}{c} - λ & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- λ (8 - λ) - 8 \cdot - 8) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- λ \cdot 8 - λ (- λ) - 8 \cdot - 8) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2.1.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- 8 λ - λ (- λ) - 8 \cdot - 8) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot - 8) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.4.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1.4.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot - 8) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2.1.4.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot - 8) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- 8 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot - 8) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2.1.4.3

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- 8 λ + λ^{2} - 8 \cdot - 8) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2.1.5

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (- 8 λ + λ^{2} + 64) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.3.2.2

Riordina $- 8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 | \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} | + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 12 & - 8 \\ 8 & 8 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 (- 12 (8 - λ) - 8 \cdot - 8) + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 (- 12 \cdot 8 - 12 (- λ) - 8 \cdot - 8) + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.4.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 (- 96 - 12 (- λ) - 8 \cdot - 8) + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 (- 96 + 12 λ - 8 \cdot - 8) + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.4.2.1.4

Moltiplica $- 8$ per $- 8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 (- 96 + 12 λ + 64) + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.4.2.2

Somma $- 96$ e $64$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 (12 λ - 32) + 0) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.1

Somma $- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 (12 λ - 32)$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ (λ^{2} - 8 λ + 64) - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 64 - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.2.1

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.2.1.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 64 - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.2.1.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.2.1.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 64 - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 64 - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.2.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 64 - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 64 - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.2.3

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - 64 λ - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.3.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.5.2.3.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - 64 λ - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.3.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - 64 λ - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 64 λ - 4 (12 λ - 32)) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 64 λ - 4 (12 λ) - 4 \cdot - 32) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.5

Moltiplica $12$ per $- 4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 64 λ - 48 λ - 4 \cdot - 32) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.2.6

Moltiplica $- 4$ per $- 32$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 64 λ - 48 λ + 128) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.4.5.3

Sottrai $48 λ$ da $- 64 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Passaggio 5.5

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & 0 & 13 \\ 4 & - λ & - 8 \\ 0 & 8 & 8 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 8 \\ 0 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & - 8 \\ 0 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 0 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 0 & 8 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 | \begin{array}{c} 4 & - 8 \\ 0 & 8 - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 0 & 8 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 4 & - 8 \\ 0 & 8 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 0 & 8 - λ \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 0 & 8 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (- 2 (8 - λ) + 0 \cdot 13) - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (- 2 \cdot 8 - 2 (- λ) + 0 \cdot 13) - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (- 16 - 2 (- λ) + 0 \cdot 13) - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (- 16 + 2 λ + 0 \cdot 13) - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3.2.1.4

Moltiplica $0$ per $13$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (- 16 + 2 λ + 0) - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3.2.2

Somma $- 16 + 2 λ$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (- 16 + 2 λ) - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3.2.3

Riordina $- 16$ e $2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (2 λ - 16) - 8 | \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 2 & 13 \\ 4 & - 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (2 λ - 16) - 8 (- 2 \cdot - 8 - 4 \cdot 13)) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (2 λ - 16) - 8 (16 - 4 \cdot 13)) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (2 λ - 16) - 8 (16 - 52)) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.2

Sottrai $52$ da $16$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (0 - λ (2 λ - 16) - 8 \cdot - 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Sottrai $λ (2 λ - 16)$ da $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- λ (2 λ - 16) - 8 \cdot - 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- λ (2 λ) - λ \cdot - 16 - 8 \cdot - 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 16 - 8 \cdot - 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2.3

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 1 \cdot 2 λ \cdot λ + 16 λ - 8 \cdot - 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.4.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.4.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) + 16 λ - 8 \cdot - 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2.4.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 1 \cdot 2 λ^{2} + 16 λ - 8 \cdot - 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ - 8 \cdot - 36) + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2.5

Moltiplica $- 8$ per $- 36$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288) + 0 + 0$

Passaggio 5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Combina i termini opposti in $(1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288) + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Somma $(1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288) + 0$

Passaggio 5.6.1.2

Somma $(1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128) - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Espandi $(1 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (8 λ^{2}) + 1 (- 112 λ) + 1 \cdot 128 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Moltiplica $- λ^{3}$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (8 λ^{2}) + 1 (- 112 λ) + 1 \cdot 128 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.2

Moltiplica $8 λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} + 1 (- 112 λ) + 1 \cdot 128 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.3

Moltiplica $- 112 λ$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 1 \cdot 128 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.4

Moltiplica $128$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.6

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.6.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.6.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.6.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + 1 λ^{4} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.8

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ^{2} - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.10

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.10.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 1 \cdot 8 (λ^{2} λ) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.10.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.10.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 1 \cdot 8 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 1 \cdot 8 λ^{2 + 1} - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 1 \cdot 8 λ^{3} - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.11

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 8 λ^{3} - λ (- 112 λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 8 λ^{3} - 1 \cdot - 112 λ \cdot λ - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.13

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.13.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 8 λ^{3} - 1 \cdot - 112 (λ \cdot λ) - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.13.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 8 λ^{3} - 1 \cdot - 112 λ^{2} - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.14

Moltiplica $- 1$ per $- 112$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 8 λ^{3} + 112 λ^{2} - λ \cdot 128 - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.2.15

Moltiplica $128$ per $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 8 λ^{3} + 112 λ^{2} - 128 λ - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.3

Sottrai $8 λ^{3}$ da $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 8 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} + 112 λ^{2} - 128 λ - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.4

Somma $8 λ^{2}$ e $112 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 120 λ^{2} - 112 λ + 128 + λ^{4} - 128 λ - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.5

Sottrai $128 λ$ da $- 112 λ$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 120 λ^{2} - 240 λ + 128 + λ^{4} - 2 (- 2 λ^{2} + 16 λ + 288)$

Passaggio 5.6.2.6

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 120 λ^{2} - 240 λ + 128 + λ^{4} - 2 (- 2 λ^{2}) - 2 (16 λ) - 2 \cdot 288$

Passaggio 5.6.2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.7.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 120 λ^{2} - 240 λ + 128 + λ^{4} + 4 λ^{2} - 2 (16 λ) - 2 \cdot 288$

Passaggio 5.6.2.7.2

Moltiplica $16$ per $- 2$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 120 λ^{2} - 240 λ + 128 + λ^{4} + 4 λ^{2} - 32 λ - 2 \cdot 288$

Passaggio 5.6.2.7.3

Moltiplica $- 2$ per $288$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 120 λ^{2} - 240 λ + 128 + λ^{4} + 4 λ^{2} - 32 λ - 576$

Passaggio 5.6.3

Somma $120 λ^{2}$ e $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 124 λ^{2} - 240 λ + 128 + λ^{4} - 32 λ - 576$

Passaggio 5.6.4

Sottrai $32 λ$ da $- 240 λ$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 124 λ^{2} - 272 λ + 128 + λ^{4} - 576$

Passaggio 5.6.5

Sottrai $576$ da $128$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 124 λ^{2} - 272 λ + λ^{4} - 448$

Passaggio 5.6.6

Sposta $- 272 λ$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + 124 λ^{2} + λ^{4} - 272 λ - 448$

Passaggio 5.6.7

Sposta $124 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 9 λ^{3} + λ^{4} + 124 λ^{2} - 272 λ - 448$

Passaggio 5.6.8

Riordina $- 9 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 9 λ^{3} + 124 λ^{2} - 272 λ - 448$

Passaggio 6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{4} - 9 λ^{3} + 124 λ^{2} - 272 λ - 448 = 0$

Passaggio 7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$λ \approx - 1.07462826, 3.7522584$